针对预约台球助教陪打陪练、付费下单、线上助教选择等需求的原生APP系统开发，其功能模块可以详细划分为以下几个核心部分：

注册与登录：支持用户通过邮箱、手机号或第三方社交账号进行注册和登录。

个人资料：允许用户编辑和完善个人信息，包括联系方式、技能水平、偏好设置等。

预约历史：记录用户的所有预约记录，便于用户回顾和计划未来的训练。

教练资料库：包含各个教练的详细信息，如资历、专长、教学风格、可用时间以及过往用户的评价。

教练筛选与推荐：根据用户的技能水平和偏好，智能推荐适合的教练或允许用户自行筛选教练。

预约功能：允许用户选择特定的教练和时间段进行预约。

同步日历：集成日历功能，帮助用户管理预约时间，避免时间冲突。

多方式支付：支持主流的在线支付方式，如信用卡、支付宝、微信支付等，确保交易过程安全便捷。

发票与收据：提供电子或纸质的支付凭证和收据，满足用户的报销需求。

场地搜索：提供附近台球馆的搜索功能，包括场地的位置、大小、费用和设施情况。

场地预约：允许用户根据需要的时间、地点和场地类型进行在线预订。

预订管理：用户可以查看和管理自己的所有场地预订记录。

教练评价：用户可以对接受的训练进行评价，包括教练的教学效果和态度。

场地评价：对预定的场地进行评价，如设施质量、环境等。

改进建议：提供一个渠道让用户可以提出对服务或APP的改进建议。

预约提醒：通过APP推送或邮件提醒用户即将到来的预约。

变更通知：及时通知用户任何关于预约的变动，如教练取消或场地关闭等。

在线客服：提供实时在线客服支持，处理用户的疑问和问题。

常见问题（FAQ）：提供用户常见问题的解答，帮助用户自助解决问题。

意见反馈：收集用户的反馈意见，用于改善服务质量和APP功能。

综上所述，一个完整的预约台球助教陪打陪练、付费下单、线上助教选择的原生APP系统需要包含多个功能模块，以确保用户能够便捷、安全地使用该APP进行台球训练预约和支付。同时，这些功能模块也需要不断优化和完善，以适应用户需求的变化和市场的竞争态势。